Los números transfinitos de Cantor

 

Los números transfinitos de Cantor

Fuente: Ciencia Al Límite

El matemático alemán Georg Cantor fundó la teoría de conjuntos moderna e introdujo el desconcertante concepto de número transfinito, que puede utilizarse para denotar el tamaño relativo de una colección infinita de objetos. El número transfinito más pequeño es el llamado álef-cero (ℵ₀), si el conjunto de los números enteros es infinito y consta de un determinado valor de elementos. ¿Hay algún grado de infinitud mayor?

Resulta que, a pesar de que existe un número infinito de números enteros, de racionales (aquellos que pueden expresarse como fracción) y de números irracionales (como la raíz cuadrada de 2, que no puede expresarse en forma de fracción), podemos decir que, de algún modo, el infinito número de irracionales es mayor que el infinito de números enteros o racionales. Del mismo modo, existen más números reales (que incluyen a los racionales y los irracionales) que enteros.

Las chocantes ideas de Cantor acerca del infinito recibieron críticas generalizadas que lo sumieron en depresión (tuvo que ser internado varias veces); al final, sin embargo, se convirtieron en teoría fundamental. Cantor, además, equiparó su concepto del infinito absoluto, que iba más allá de los números transfinitos, con Dios. Escribió: «No albergo ninguna duda en cuanto a la realidad de los transfinitos, que supe reconocer con ayuda de Dios y que he estudiado con toda su diversidad durante más de 20 años».

En 1884, Cantor escribió una carta dirigida al matemático sueco Gosta Mittag-Leeffler en la que aseguraba que no era el creador de su nueva obra, sino un mero reportero. Dios había puesto la inspiración, y el papel de Cantor se limitaba a organizar los papeles y darles coherencia. El matemático David Hilbert describió el trabajo de Cantor como el producto más depurado de genio matemático y uno de los mayores logros de la actividad intelectual pura.