la dimensión de Hausdorff

 

LA DIMENSIÓN DE HAUSDORFF

El matemático Félix Hausdorff introdujo en 1918 la dimensión de Hausdorff, que puede utilizarse para medir las dimensiones fraccionarias de los conjuntos fractales. En nuestra vida diaria, solemos pensar en las dimensiones topológicas enteras de objetos lisos. Por ejemplo un plano presenta dos dimensiones, debido a que un punto del plano puede describirse a través de dos parámetros independientes, por ejemplo, las distancias medidas en un par de ejes x e y. Una línea recta tiene una sola dimensión.

En relación con algunos conjuntos y curvas más complicados, la dimensión de Hausdorff aporta otra forma de definir la dimensión. Imaginemos una línea que describa un patrón zigzagueante y se enrosque de una forma tan complicada que cubra de forma parcial el plano. Su dimensión de Hausdorff va más alla de 1 y adopta valores que se acercan cada vez más a 2 conforme la línea cubre más el plano. Las curvas que llenan espacios como las curvas de Peano, infinitamente complicadas, tienen una dimmension de Hausdorff de 2.

Las dimensiones de Hausdorff de las líneas costeras van desde 1.02 en la costa de sudafrica, hasta 1.25 en la costa occidental de Gran Bretaña. En realidad, una de las definiciones de fractal es, conjunto en relación con el cual la dimensión de Hausdorff supera la dimensión topológica. La utilidad de las dimensiones fraccionarias para cuantificar la irregularidad, las pautas de crecimiento y la complejidad se ha demostrado en diversas áreas como el arte, la biología y la geología