El teorema de Bayes

 

EL TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes desempeña un papel fundamental en la ciencia y puede formularse mediante una expresión matemática muy sencilla, que se utiliza para calcular probabilidades condicionadas.

El término probabilidad condicionada hace referencia a la probabilidad de que ocurra un suceso A habiendo ocurrido otro suceso B, y se expresa formalmente como P(A/B). El teorema de Bayes afirma lo siguiente: P(A/B)=[P(B/A)*P(A)]/P(B). Aquí P(A) es la probabilidad a priori de A es decir, la probabilidad de que suceda A con independencia de lo que sepamos acerca de B. P(B/A) es la probabilidad de B condicionada a la ocurrencia de A. P(B), la probabilidad a priori de B. Imaginemos que tenemos dos cajas.

La caja 1 contiene diez pelotas blancas y treinta negras. La caja 2 contiene veinte de cada color. Selecciones una caja al azar y extraiga una bola. Asumimos que las pelotas son indistinguibles, salvo por su color. La pelota extraída resulta ser negra. ¿Cuál es la probabilidad que se haya escogido la caja 1?¿ Es decir, cual es la probabilidad de haber escogido la caja 1, si tenemos en cuenta que la pelota que tiene en la mano es negra? El acontecimiento A corresponde a <<haber elegido la caja 1>> el acontecimiento B corresponde a <<extraer una bola negra>>.

Queremos calcular P(A/B). P(A) es 0,5, es decir, el 50%. P(B) es la probabilidad de escoger una pelota negra con independencia de cualquier información acerca de las cajas. Se calcula como la suma de la probabilidad de extraer una pelota negra de una de las cajas multiplicada por la probabilidad de seleccionar esa caja.

La probabilidad de extraer una pelota negra de la caja 1 es de 0,75. La probabilidad de extraer una pelota negra de la caja 2 es 0,5. La probabilidad total de extraer una bola negra es 0,75*0,5+0,5*0,5=0,625. P(B/A) o la probabilidad de extraer una pelota negra dado que se ha elegido la caja 1, es 0,75. Podemos utilizar la fórmula de Bayes para descubrir que la probabilidad de haber escogido la caja 1 es P(A/B)=0,6.