LA FUNCIÓN DE WEIERSTRASS

 

LA FUNCIÓN DE WEIERSTRASS

En la historia de las matemáticas existen ideas que no solo suman conocimiento, sino que hacen temblar los cimientos de lo que creíamos saber. La función de Weierstrass es precisamente una de esas creaciones: una curva ideada en 1872 por el matemático alemán Karl Weierstrass que desafió la intuición geométrica de toda una época.

​Para entender su impacto sin recurrir a la jerga matemática, conviene repasar dos conceptos fundamentales:

​Continuidad (sin saltos ni trazos rotos): Una línea o trayectoria es continua si se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel. No tiene huecos, interrupciones ni saltos repentinos.

​Derivabilidad (suavidad y dirección): Que una curva sea derivable significa que, vista desde muy cerca, es suave. Si te colocas sobre una carretera suave y miras justo debajo de tus pies, puedes marcar con claridad la dirección en la que caminas (la recta tangente). Si hay una esquina en pico —como el vértice de una letra V—, en ese punto exacto no hay una sola dirección clara, por lo que no existe derivada.

​Hasta la llegada de Weierstrass, la comunidad científica asumía algo intuitivo: si un trazo no tiene saltos ni interrupciones, debe ser suave en casi todas partes. Podía tener picos aislados, pero la regla general debía ser la suavidad.

​La paradoja de la curva infinitamente dentada

​Karl Weierstrass demostró que esa suposición era falsa construyendo un objeto "monstruoso" para la época: una función que es continua en todos sus puntos pero no es suave en absolutamente ninguno.

​Para visualizarla, imagina el perfil de una cordillera:

​Empiezas con una onda suave y ondulada, como una ola del mar.

​Sobre esa ola, añades ondas muchísimo más pequeñas y rápidas.

​Sobre estas últimas, vuelves a añadir otra capa de ondas todavía más diminutas y veloces, y repites este proceso infinitas veces.

​El resultado final no es una línea suave ni una suma de picos normales. Es un trazo completamente lleno de arrugas y picos a cualquier escala. Si intentas acercarte con una lupa enorme a cualquier tramo de la curva para buscar un trozo recto o suave, no lo encontrarás: al ampliar la imagen, vuelven a aparecer infinidad de diminutos picos y zigs-zags.

​Dado que en cada punto la trayectoria cambia de dirección de forma abrupta e infinita, es imposible trazar una recta tangente en cualquier lugar. Carece por completo de velocidad o dirección definida en todo su recorrido.

​El nacimiento de la geometría fractal

​En su momento, muchos matemáticos calificaron a esta función de "patológica" o "abominación" porque destruía la idea de que la geometría intuitiva bastaba para hacer cálculo. Sin embargo, la función de Weierstrass no era una rareza inútil: fue el primer ejemplo documentado de lo que un siglo después llamaríamos fractal.

​Los fractales son objetos que exhiben la misma complejidad a cualquier nivel de magnificación. En la naturaleza existen formas que se aproximan a este comportamiento:

​El perfil irregular de una costa vista desde un satélite, desde un avión o con un microscopio sobre las rocas.

​El movimiento errático e impredecible de una partícula de polen flotando en el agua (movimiento browniano).

​Las fluctuaciones continuas y sin suavidad de los mercados financieros.

​La función de Weierstrass enseñó a la ciencia que la continuidad y la suavidad no van necesariamente de la mano, abriendo la puerta al estudio riguroso del caos, la rugosidad y la complejidad en el universo